Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /DISK2/WWW/lokiware.info/mff/wakka.php on line 35 Matfiz : LineárníAlgebra/ZkouškaZS2006-7

Matfiz : LineárníAlgebra/ZkouškaZS2006-7

Písemky z lineární algebry

Bodování: max 26b., min 14b. (1 od 20, 2 od 17 nebo tak nějak), 1., 2., 3. jsou za 6 bodu, 4. po 2 bodech za pismenko.

Tak nakonec to při vyhlášení Kolman zmírnil na 26–22 za jedna, 22–18 za dva a 18–14 za tři, což už docela šlo, udělali to z našeho termínu myslím všichni (nebo skoro všichni). I za nepříliš formálně dokonalé důkazy, které nestály na úplně pevných základech, jsem dostal plný počet bodů.

Na napsání písemky jsme měli 90min. Pak to šel Kolman rovnou opravit a po cca hodině nám řekl výsledky, případně zkonzultoval nejasnosti (myslím, že i někomu nakonec nějaký ten bod přidal).

Zadání jsou často podobná jako Matouška, na která už leží odkaz na stránce o lingebře.

Písemka 3

31. ledna (Aspoň tak nějak zhruba, co si pamatuju, kdyžtak to někdo opravte/doplňte. — Adam)
  1. Urči kolik řešení má v Z5 soustava rovnic x1 + atd. (byly zadány dvě lineárně nezávislé rovnice o pěti proměnných). Určete obecně kolik řešení má soustava Ax = b v Zp.
  2. Definuj vektorový prostor. Definuj bázi vektorového prostoru. Uveď ekvivalentní podmínku pro bázi.
  3. Definuj lineární zobrazení. Definuj isomorfismus. Co je obrazem báze v isomorfismu? Dokaž.
  4. Rozhodni a zdůvodni:
    1. U je vektorový prostor, V a W jeho podprostory s bázemi (v1, &hellip, vk), resp. (w1, &hellip, wl), takovými, že ∀i: vi ∉ span(w1, &hellip, wl), ∀i: wi ∉ span(v1, &hellip, vk). Potom v1, &hellip, vk, w1, &hellip, wl jsou lineárně nezávislé. (Kde span(X) je lineární obal souboru X.)
    2. Pro matici A typu n x n platí rank(A) = n, potom Ř(A) = S(A).
    3. U1 a U2 jsou podprostory vektorového prostoru V. Je U1 ∩ U2 podprostorem V?
    4. Posun, rotace se středem v počátku a nějaké zobrazení f(u) = nevímcoAleByloToLineární jsou lineární zobrazení.

Řešení (nápady)

  1. 53 (tři volné proměnné mohou nabývat v Z5 pěti různých hodnot). Předpokládejme nenulové pravé strany. Nechť A je typu m x n, pak počet řešení je 0 (na tohle se často zapomínalo), pokud rank(A) < m, jinak je počet řešení pm-n.
  2. Definice jasné. Ekvivalentní podmínky jsem uvedl «B je systém generátorů V, |B| = dim(V)" a «B jsou lineárně nezávislé V, |B| = dim(V)", což mi bylo uznáno.
  3. Definice jasné. Obrazem je báze toho druhého prostoru. V důkazu se dá trochu zamotat, já jsem například použil ke konci důkazu tvrzení, které je toho spíš důsledkem. Na přednášce to ale určitě bylo, tak se na to můžete mrknout.
    1. Ne. Přestože většina lidí si myslela, že ano. Zkuste na to přijít sami a až v nouzi nejvyšší;) promyslete následující protipříklad: U = R3, báze podprostorů: ((1,0,0)T, (1,1,0)T) a ((0,0,1)T, (0,1,1)T).
    2. Ano.
    3. Ano. (Stačí ukázat jeho uzavřenost na sčítání a násobení.)
    4. Ne. Posun není lineární zobrazení.

Písemka 2

Zadání zkoušky v pdf ( MB )
priklad 2- myslim ze tam bylo: 2*x1 − x2 + 3x4

Řešení (spíš jen nápady, jak to řešit)

  1. je vektorový prostor
  2. je lehka
    1. najdete bazi (po vyreseni jsou to vektory u parametrů – jako na cviceni) baze myslim mela 3 vektory
    2. proste napisete matici zobrazeni, kde sloupce budou obrazy baze z a) tzn matice 2x3, protoze je to vuci standartni bazi R2
  3. je jasná (pouzijte pro dukaz matematickou indukci a lemma o vymene, je to kratsi) lemma se nemusi dokazovat
    1. neplati napriklad v Z_2
    c,d neplatí, b platí

Písemka 1

  1. Definujte těleso. Ověřte, zda T je těleso, pokud pro něj operace sčítání a násobení vypadají následovně: a sč. b = a+b+1 ; a krát b = 2ab+a+b
  2. Vektory (1,2,0)T, (0,1,2)T a (2,1,0)T definují Prostor Z33. Ověřte jestli jsou linéárně závislé. Ověřte, pro která prvočísla p >= 3 jsou vektory lineárně závislé nad prostorem Zp3
    • Ve starých Matouškových zadáních je to (1,2,0)T, (0,1,2)T a (2,0,1)T. (Moc to na nemění, viz řešení níže.) — Adam
  3. Definujte izomorfismus vektorových prostorů. Určete, zda je R10 izomorfní s libovolným prostorem desetičlenných vektorů z tělesa R a zda je s ním izomorfní R9.
    1. Ve čtvercové matici Ajsou pod diagonálou jen nuly. Je řádkový prostor této matice stejný jako sloupcový?
    2. Platí, že libovolných n lineárně nezávislých vektorů je báze prostoru s dimenzí n?
    3. Platí AB=In => BA=In ?
    4. Plati?: A|b ma stejnou hodnost jako A ekvivalentni Ax=b ma aspon jedno reseni.

finito.

Řešení (spíš jen nápady, jak to řešit)

  1. Definice je jasná (axiomy), uvedené «těleso» není těleso, narazí to v axiomu určení a-1 pro 1/2(dělení nulou), prý taky na distributivitě
  2. Závislé jsou, když udělám lineární kombinaci 1*prvni+1*druhy+1*treti, dostanu 0
    • Pro větší prvočísla nevim, mě vyšlo, že pro 3 a 5 jsou závislé, pro 7 a víc nezávislé, ale v tom jsem měl chybu...
    • Jestli jsou ty vektory ze zadání správně opsané, tak tu nulu dostanu z lineární kombinace první + třetí, ale jen pro p = 3. Pro p ≥ 5 jsou podle mě vždy nezávislé, snad nekecám:). — Adam
    • mně to taky tak vychází tak snad to máš dobře... Pepa
    • Ve starých Matouškových zadáních je to (1,2,0)T, (0,1,2)T a (2,0,1)T, takže ta kombinace je pak skutečně první + druhý + třetí = (0,0,0)T. Nicméně pro p ≥ 5 jsou i tak vždycky nezávislé. — Adam
  3. Definice opět jasná (bijekce, obrazem báze je zase báze)
    • s R10 izomorfní je (obrazem báze std. báze)
    • s R9 není (obraz báze 10 prvků nemůže být lin. nezávislý v 9 dimenzích => nemůže to být báze)
    1. NE. Protipříklad, matice 3x3 vsude nuly, jen na pozici 1,2 jednicka
    2. ANO. Steinitzova věta o výměně
    3. NE. A typu nxm, B typu mxn m<>n, tak BA nemůže být I_n, protože je typu mxm 
      • Možná stojí za zmínku, že to naopak platí pro všechny A, B typu nxn, pak je totiž B inverzní k A atd. — Adam
    4. ANO. Důkaz jsme dělali na přednášce, možná je i ve skriptech. Je to založený na tom, že posl sloupec A´|b´ neobsahuje pivot...