Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /DISK2/WWW/lokiware.info/mff/wakka.php on line 35 Matfiz : MatematickáAnalýza/ZkouškaLS2007

Matfiz: MatematickáAnalýza/ZkouškaLS2007

Matematická analýza — zkouška LS 2007

1. písemka

Přišli jsme jen tři. Zadání bylo:

1) Najděte všechny primitivní funkce k f(x) = x*exp(x)*sin(x)

2) Definujte pojmy: funkce stejnoměrně spojitá na intervalu, množina (Lebesgueovy) míry nula

2a) Rozhodněte, pro které hodnoty parametru alfa z intervalu <0> je funkce f(x) = x(umocněno na alfa) * sin(1/x) + sqrt(x) na intervalu (0,1> stejnoměrně spojitá.

2b) Pro množinu X (je podmnožina reálných čísel) a reálné číslo c označíme cX = {cx : x je prvkem X}. Rozhodněte, zda je pravdivá ekvivalence: Množina X má míru nula, právě když pro každé reálné číslo c má množina cX míru nula.

Odpovědi zdůvodněte.

3a) Uveďte (bez důkazů) výsledky o Fourierových řadách.

3b) Vypočítejte integrál

(integrál od 0 do pi) (2 + sin(x) – sin(3x) + sin(5x)to celé na druhou) dx

Odpovědi zdůvodněte.

4) Uveďte vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady a dokažte ho.

Bylo to celkem lehké (i když jak co). – Ondra Triebenekl taky tady

2. písemka (8. června 2007)

1) Vypočítejte integrál od nuly do pí z ( 3 – sin(x) – sin(3x) + sin(5x) )^2 dx. Nápověda : Můžete použít výsledek z teorie Fourierových řad.

2) Definujte Riemannův integrál (pomocí dolního a horního integrálu)

  1. Pro které hodnoty parametru w má funkce f : [0;1] -> R, kde f(x) = x^w pro x > 0 a f(0)=1, Riemannův integrál?
  2. Rozhodněte, zda funkce f : [0;1] -> R definovaná jako f(x) = x pro racionální x a f(x) = sin(x) pro iracionální x má Riemannův integrál a spočítejte odhad pro horní a dolní integrál.
Odpovědi zdůvodněte
3) a) Uveďte (bez důkazů) výsledky o mocninných řadách.

  1. Nechť mají mocninné řady F a G poloměry konvergence A a B (A se nerovná B). Buď H řada vzniklá jejich součtem. Jak lze vyjádřit poloměr konvergence mocninné řady H v závislosti na A a B?
Odpovědi zdůvodněte.
4) Uveďte Mooreovu-Osgoodovu větu o záměně pořadí limity posloupnosti funkcí s limitou funkce v bodě a dokažte ji.

Výsledky ověřené docentem

1) Myslím se že mi snad ani nekontroloval to samotné číslo (mě se aspoň zdá špatně, ale co jsem já proti docentovi) šlo mu hlavně o to ukázat že znáte ty vzorce integrál od -pí do pí ze sin(nx)sin(mx). Já jsem to řešil tak, že jsem výraz umocnil. Dostal jsem šestnáct členů ale spousta jich vyjde nula (podle těch vzorců).

2) a) a > 0 jinak je funkce neomezená => není Riemannovsky integrovatelná (2)

  1. nemá R. integrál. (obsahuje nekonečně bodů nespojitosti). Ty dolní a horní součty jsem neměl, přesto jsem dostal plný počet bodů (2)
3) b) min{A, B} nejlépe prý dívat se na ty intervaly a z těch to vyvodit. (3)

Všem přeji hodně štěstí u zkoušky z Matematické analýzy II. – Petr Musil

úterý 19.

1) Spočtěte limity

lim x->0+ suma n=1 až nekonečno 1/(3^n*n^x)

lim x=>1- suma n=1 až nekonečno x^n(1-x)

2) Definujte stejnoměrnou spojitost na intervalu a Newtonův integrál

a)pro která alfa z <0,1> je f(x)=sin(alfa*x)sin(1/x)+sqrt(x) stejnoměrně spojitá?

b)f má na (0,1) Newtonův integrál

platí f+g má N. integrál <=> g má N. integrál ??? na (0,1)

3)

a) Uveďte výsledky o Fourierovývh řadách

b)f(x) po částech hladká, 2pi periodicka

S(x) součet její Fourierovy řady

Ukažte, jestli platí:

f(x)!=0 pro všechna x => S(x)!=0 pro všechna x

4) Dokažte integrální kritérium konvergence řad a uveďte příklady jeho použití

Zkouška pátek 22. 6.

  1. (6 bodů)
    Nalezněte primitivní funkci k (x2 + 1) / (x2 – 1)(x2 + x + 1).

  2. (2 + 2 + 2 body)
    Definujte: bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí; Newtonův integrál.

    (a) Mějme dvě posloupnosti funkcí definované na [0, 1], z nichž jedna konverguje lokálně stejnoměrně a druhá stejnoměrně. Musí pak konvergovat lokálně stejnoměrně jejich součet?

    (b) Nechť je funkce definovaná na (0, 1), kde je i spojitá a omezená. Musí mít na (0, 1) Newtonův integrál?

  3. (3 + 3 body)
    (a) Bez důkazů uveďte výsledky o mocninných řadách.

    (b) Sečtěte číselnou řadu suma pro n od 1 do nekonečna z 1 / (n * 3n). Návod: použijte vhodnou mocninnou řadu.

  4. (6 bodů)
    Dokažte, že funkce spojitá na [a, b] má na [a, b] primitivní funkci.

Komentář:

  1. Klasický příklad na racionální funkci, navíc velmi jednoduchý. Pokud dobře rozložíte výraz na parciální zlomky, vyjde v čitatelích vždy derivace jmenovatele, takže ve výsledku jsou samé lograritmy.
    Nebo taky arctan, podle toho, jak si to kdo přerozkládal. BTW, udělal jsem tam jednu numerickou chybu, a z pěti zlomků jsem zintegroval čtyři (zbytek jsem nestihl, dělal jsem to jako poslední). Dostal jsem jen 2,5 bodu s tím, že je to technicky správně, ale numerické chyby. Nemám na co si stěžovat, ale čekal bych aspoň o bodík víc. — Adam.

  2. (a) Musí. Ze stejnoměrné konvergence druhé posloupnosti vyplývá její lokálně stejnoměrná konvergence, což je postačující předpoklad toho, aby tvrzení platilo. To, že součet konverguje lokálně stejnoměrně, se dá snadno dokázat přímo z definic konvergencí.

    (b) Musí. Funkci f v nule a jedničce libovolně dodefinujeme. Potom je podle Lebesgua riemannovsky integrovatelná a proto pro ni podle první základní věty analýzy existuje na [0, 1] spojitá primitivní funkce F, pro kterou díky její spojitosti v krajních bodech existují vlastní jednostranné limity potřebné pro Newtonův integrál.

  3. (b) Odpovídající mocninná řada je xn / n, což je prý vlastně rozvoj logaritmu, snad -log(1 – x), takže stačí dosadit... toto jsem neměl, ale něco takového ukazoval na tabuli.... Mocninne rady mozeme derivovat a integrovat po prvkoch. Ak si danu radu zderivujeme po prvkoch dostaneme geometricku radu, ktoru vieme spocitat. Potom staci uz len zintegrovat a dosadit. Michal
  4. Zde jsem vlastně shodně s «požadavky ke zkoušce» dokazoval první základní větu analýzy a poté ji aplikoval na daný případ, přičemž jsem se odvolal na větu 1.7 z přednášky (že spojitá funkce je RI). Dostal jsem za to 5/6 bodů s poznámkou «chybí důkaz 1.7!» a se smajlíkem, což tak docela nevím, co má znamenat, protože dokazovat k tomu větu 1.7 (nedejbože i s tím lemmatem) by zabralo další A4...
    Já jsem na druhou stranu dostal nějaký bod nebo dva už jen za to, že jsem napsal, že to plyne z těchto vět (nepsal jsem přesně jejich čísla, ale v podstatě jsem je tam přepsal). — Adam
Honza