Matematická analýza — zkouška LS 2007

Hezky zformátované !/Požadavky ke zkoušce

1. písemka

Přišli jsme jen tři. Zadání bylo:

1) Najděte všechny primitivní funkce k f(x) = x*exp(x)*sin(x)

2) Definujte pojmy: funkce stejnoměrně spojitá na intervalu, množina (Lebesgueovy) míry nula
2a) Rozhodněte, pro které hodnoty parametru alfa z intervalu <0> je funkce f(x) = x(umocněno na alfa) * sin(1/x) + sqrt(x) na intervalu (0,1> stejnoměrně spojitá.
2b) Pro množinu X (je podmnožina reálných čísel) a reálné číslo c označíme cX = {cx : x je prvkem X}. Rozhodněte, zda je pravdivá ekvivalence: Množina X má míru nula, právě když pro každé reálné číslo c má množina cX míru nula.
Odpovědi zdůvodněte.

3a) Uveďte (bez důkazů) výsledky o Fourierových řadách.
3b) Vypočítejte integrál
(integrál od 0 do pi) (2 + sin(x) – sin(3x) + sin(5x)to celé na druhou) dx
Odpovědi zdůvodněte.

4) Uveďte vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady a dokažte ho.

Bylo to celkem lehké (i když jak co). – Ondra Triebenekl taky tady

2. písemka (8. června 2007)

1) Vypočítejte integrál od nuly do pí z ( 3 – sin(x) – sin(3x) + sin(5x) )^2 dx. Nápověda : Můžete použít výsledek z teorie Fourierových řad.
2) Definujte Riemannův integrál (pomocí dolního a horního integrálu)

Pro které hodnoty parametru w má funkce f : [0;1] -> R, kde f(x) = x^w pro x > 0 a f(0)=1, Riemannův integrál?
Rozhodněte, zda funkce f : [0;1] -> R definovaná jako f(x) = x pro racionální x a f(x) = sin(x) pro iracionální x má Riemannův integrál a spočítejte odhad pro horní a dolní integrál.

Odpovědi zdůvodněte

3) a) Uveďte (bez důkazů) výsledky o mocninných řadách.

Nechť mají mocninné řady F a G poloměry konvergence A a B (A se nerovná B). Buď H řada vzniklá jejich součtem. Jak lze vyjádřit poloměr konvergence mocninné řady H v závislosti na A a B?

Odpovědi zdůvodněte.

4) Uveďte Mooreovu-Osgoodovu větu o záměně pořadí limity posloupnosti funkcí s limitou funkce v bodě a dokažte ji.
Výsledky ověřené docentem
1) Myslím se že mi snad ani nekontroloval to samotné číslo (mě se aspoň zdá špatně, ale co jsem já proti docentovi) šlo mu hlavně o to ukázat že znáte ty vzorce integrál od -pí do pí ze sin(nx)sin(mx). Já jsem to řešil tak, že jsem výraz umocnil. Dostal jsem šestnáct členů ale spousta jich vyjde nula (podle těch vzorců).
2) a) a > 0 jinak je funkce neomezená => není Riemannovsky integrovatelná (2)

nemá R. integrál. (obsahuje nekonečně bodů nespojitosti). Ty dolní a horní součty jsem neměl, přesto jsem dostal plný počet bodů (2)

3) b) min{A, B} nejlépe prý dívat se na ty intervaly a z těch to vyvodit. (3)
Všem přeji hodně štěstí u zkoušky z Matematické analýzy II. – Petr Musil

úterý 19.

1) Spočtěte limity
lim x->0+ suma n=1 až nekonečno 1/(3^n*n^x)
lim x=>1- suma n=1 až nekonečno x^n(1-x)
2) Definujte stejnoměrnou spojitost na intervalu a Newtonův integrál
a)pro která alfa z <0,1> je f(x)=sin(alfa*x)sin(1/x)+sqrt(x) stejnoměrně spojitá?
b)f má na (0,1) Newtonův integrál
platí f+g má N. integrál <=> g má N. integrál ??? na (0,1)
3)
a) Uveďte výsledky o Fourierovývh řadách
b)f(x) po částech hladká, 2pi periodicka
S(x) součet její Fourierovy řady
Ukažte, jestli platí:
f(x)!=0 pro všechna x => S(x)!=0 pro všechna x
4) Dokažte integrální kritérium konvergence řad a uveďte příklady jeho použití

Zkouška pátek 22. 6.

(6 bodů)
Nalezněte primitivní funkci k (x² + 1) / (x² – 1)(x² + x + 1).
(2 + 2 + 2 body)
Definujte: bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí; Newtonův integrál.
(a) Mějme dvě posloupnosti funkcí definované na [0, 1], z nichž jedna konverguje lokálně stejnoměrně a druhá stejnoměrně. Musí pak konvergovat lokálně stejnoměrně jejich součet?
(b) Nechť je funkce definovaná na (0, 1), kde je i spojitá a omezená. Musí mít na (0, 1) Newtonův integrál?
(3 + 3 body)
(a) Bez důkazů uveďte výsledky o mocninných řadách.
(b) Sečtěte číselnou řadu suma pro n od 1 do nekonečna z 1 / (n * 3ⁿ). Návod: použijte vhodnou mocninnou řadu.
(6 bodů)
Dokažte, že funkce spojitá na [a, b] má na [a, b] primitivní funkci.

Komentář:

Klasický příklad na racionální funkci, navíc velmi jednoduchý. Pokud dobře rozložíte výraz na parciální zlomky, vyjde v čitatelích vždy derivace jmenovatele, takže ve výsledku jsou samé lograritmy.
Nebo taky arctan, podle toho, jak si to kdo přerozkládal. BTW, udělal jsem tam jednu numerickou chybu, a z pěti zlomků jsem zintegroval čtyři (zbytek jsem nestihl, dělal jsem to jako poslední). Dostal jsem jen 2,5 bodu s tím, že je to technicky správně, ale numerické chyby. Nemám na co si stěžovat, ale čekal bych aspoň o bodík víc. — Adam.
(a) Musí. Ze stejnoměrné konvergence druhé posloupnosti vyplývá její lokálně stejnoměrná konvergence, což je postačující předpoklad toho, aby tvrzení platilo. To, že součet konverguje lokálně stejnoměrně, se dá snadno dokázat přímo z definic konvergencí.
(b) Musí. Funkci f v nule a jedničce libovolně dodefinujeme. Potom je podle Lebesgua riemannovsky integrovatelná a proto pro ni podle první základní věty analýzy existuje na [0, 1] spojitá primitivní funkce F, pro kterou díky její spojitosti v krajních bodech existují vlastní jednostranné limity potřebné pro Newtonův integrál.
(b) Odpovídající mocninná řada je xⁿ / n, což je prý vlastně rozvoj logaritmu, snad -log(1 – x), takže stačí dosadit... toto jsem neměl, ale něco takového ukazoval na tabuli.... Mocninne rady mozeme derivovat a integrovat po prvkoch. Ak si danu radu zderivujeme po prvkoch dostaneme geometricku radu, ktoru vieme spocitat. Potom staci uz len zintegrovat a dosadit. Michal
Zde jsem vlastně shodně s «požadavky ke zkoušce» dokazoval první základní větu analýzy a poté ji aplikoval na daný případ, přičemž jsem se odvolal na větu 1.7 z přednášky (že spojitá funkce je RI). Dostal jsem za to 5/6 bodů s poznámkou «chybí důkaz 1.7!» a se smajlíkem, což tak docela nevím, co má znamenat, protože dokazovat k tomu větu 1.7 (nedejbože i s tím lemmatem) by zabralo další A4...
Já jsem na druhou stranu dostal nějaký bod nebo dva už jen za to, že jsem napsal, že to plyne z těchto vět (nepsal jsem přesně jejich čísla, ale v podstatě jsem je tam přepsal). — Adam

— Honza