Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /DISK2/WWW/lokiware.info/mff/wakka.php on line 35 Matfiz : PravděpodobnostAStatistika

Matfiz : PravděpodobnostAStatistika

Pravděpodobnost a statistika


Přednášející: Jaromír Antoch (na jeho webu ale žádné informace, vyjma toho, jak se zapisují výsledky do indexů, a výsledků zkoušek nenajdete:()


Zkouška

Zkoušky probíhají v Karlíně. Jsou na ně dvě hodiny čistého času, dost lidí odevzdává dříve. Bude se vám hodit kalkulačka. Hodnoty kvantilů a distribučních funkcí se na dřívějších termínech zřejmě studentům na požádání sdělovaly, teď (26. 1. 2008) je stačilo uvádět ve formě Φ(číslo) apod., přičemž to číslo, pokud si pamatuju vyšlo v jednom příkladě přesně 1 a v dalším přesně 2 (nebo 1.75, viz [2008–01–26-B] (2) níže).

Známkování je dost mírné, výsledky bývají ještě týž den na Antochových stránkách, kdyby vás zajímalo, jak bodování/známkování vypadá, mrkněte tam na dosavadní výsledky.

Dost informací o minulých zkouškách najdete na velké matfyzácké wiki. Čerstvé zážitky z tohoto roku na fóru a psát je můžete i sem:).

Řešené úlohy

Na zkoušce 26. 1. 2008 (varianta B) (celé zadání na fóru) se objevila mj. následující úloha. Myslím, že dost lidí ji nemělo, takže tady je zadání a řešení:


Řešení:

Označme hodnoty n = 100, p = 0.8, k = 88. P = P[během 100 nezávislých zapnutí nevytuhne alespoň 88krát] = ?.

Nechť X ~ Bi(n,p). Potom zřejmě platí:
P = P[ X \ge k ] = \sum_{i=k}^{100} P[ X = i] = \sum_{i=k}^{n} {n \choose i} p^i (1-p)^{n-i} = \sum_{i=88}^{100} {100 \choose i} 0.8^i 0.2^{100-i} \approx 0.0253 = 2.53 \%

To je dost přesný správný výsledek, ale nikdo asi nečekal, že byste na zkoušce tu sumu počítali, takže lze provést aproximaci podle CLV:
P = P[ X \ge k ] = 1 – P[ X < k ] = 1 – P\Bigl[ \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} < \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Bigr] \approx_{CLV} 1 -\Phi\Bigl( \frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}} \Bigr) = 1 -\Phi\Bigl( \frac{88–100\cdot0.8}{\sqrt{100\cdot0.8\cdot0.2}} \Bigr) = 1 – \Phi(2) \approx 1 – 0.9772 = 0.0228 = 2.28 \% (Nejsme zas tak daleko od přesného výsledku.)

Pokud vám úplně nevoní, že v CLV má být neostrá nerovnost, mohli jste to spočíst jakoby korektněji takhle:
P = P[ X \ge k ] = 1 – P[ X \le k-1 ] = 1 – P\Bigl[ \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le \frac{k-1-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Bigr] \approx_{CLV} 1 -\Phi\Bigl( \frac{k-1-np}{\sqrt{np(1-p)}} \Bigr) = 1 -\Phi\Bigl( \frac{88–1-100\cdot0.8}{\sqrt{100\cdot0.8\cdot0.2}} \Bigr) = 1 – \Phi(1.75) \approx 1 – 0.9599 = 0.0401 = 4.01 \% (Jsme docela dost mimo:(.)

I když to vypadá jako dost jasný příklad, přiznám se, že při zkoušce jsem tam napsal nějakou hovadinu, a když jsem o tom pak po cestě metrem přemýšlel, první, co mě napadlo bylo počítat to přes negativně binomické rozdělení (jako součet pravděpodobností, že 88. nevytuhnutí přijde při 88., 89. až 100. zapnutí):
P = \sum_{i=k}^{100} P[ NBi(k,p) = i] = \sum_{i=k}^{n} {i-1 \choose k-1} p^k (1-p)^{i-k} = \sum_{i=88}^{100} {i-1 \choose 88–1} 0.8^88 0.2^{i-88} \approx 0.0253 = 2.53 \%

Jak vidíte, vyjde to úplně stejně jako přes binomické rozdělení (i když rovnost těch sum není na první pohled vidět), ale těžko na to aplikovat CLV.

Když jsem si to takhle doma všechno takhle spočetl, docela mě překvapilo, jak je ten odhad pomocí CLV mimo. Zvlášť ten druhý, který mi přijde správnější. Holt dost malé n.

Starší úlohy:

Řešení: U exp. rozdělení: 1/λ = E X, tedy máme λ = 1/2, F(x) = 1 – e-λt, z toho snadno spočteme pravděpodobnost P[t > 2] = 1 – P[t ≤ 2] = 1 – F(2) = (dosazení) = 1/e = přibližně 37 %

Zdroje

Cvičení