Steinitzova věta o výměně
Následující formulace a důkaz věty vychází toho, co je v sylabu, a mých zápisků z přednášky. Trochu jsem změnil písmenka (liší se trochu od obou verzí), pokusil se to zapsat přehledně a bez složitých výrazů a s omáčkou, aby to bylo ve formě pro mě stravitelné:).
Poznámka: To, co je v Tůmových skriptech jako Steinitzova věta o výměně, je ve skutečnosti lemma o výměně z Kolmanovy přednášky a ze sylabu. Vlastní větě o výměně se hodně podobá Tvrzení 6.5, ale neříká úplně totéž (mluví se o bázi místo systému generátorů).
Steinitzova věta o výměně
Nechť:
- V je vektorový prostor nad tělesem T,
- G = (v1, v2, …, vn) je systém generátorů vektorového prostoru V,
- X = (x1, x2, …, xk) je soubor lineárně nezávislých vektorů z V.
Pak:
- k ≤ n,
- některých k vektorů z G lze nahradit vektory x1, x2, …, xk, tak že dostaneme opět systém generátorů.
Lemma o výměně
Následující lemma se hodí pro důkaz samotné věty:
Nechť:
- G = (v1, v2, …, vn) je systém generátorů vektorového prostoru V,
- x ∈ V je nějaký vektor vyjádřený pomocí vektorů z G jako x = a1v1 + a2v2 + … + anvn.
Pak pro všechna
i taková, že
ai ≠ 0, je
G' = (
v1, …,
vi-1,
x,
vi+1, …,
vn) také systém generátorů.
Důkaz lemmatu
- Koeficient ai ≠ 0, tedy existuje prvek ai-1 inverzní k ai.
- Vektor vi (ten, který jsme nahradili) můžeme proto vyjádřit pomocí zbylých vektorů v1, …, vn a x:
- vi = ai-1(x – a1v1 – a2v2 – … – ai-1vi-1 – ai+1vi+1 – … – anvn)
- Z toho plyne, že libovolný vektor z V (který šel vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z G), lze vyjádřit i jako lineární kombinaci vektorů z G'.
- G' je tedy také systém generátorů.
Důkaz věty
- Vektory v X jsou lineárně nezávislé, proto ∀x∈X: x ≠ 0.
- Důkaz indukcí podle počtu vyměněných vektorů l:
- pro l = 1:
- G je systém generátorů, proto lze vyjádřit x1 = a1v1 + a2v2 + … + anvn.
- Protože x1 ≠ 0 (viz začátek důkazu), existuje j takové, že koeficient aj ≠ 0.
- Podle lemmatu můžeme vj nahradit x1. Dostaneme tím soubor G1, který je také systém generátorů.
- pro 2 ≤ l ≤ k (když platí pro l-1):
- Obdobně jako v prvním kroku lze nyní xl vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z Gl-1 (tedy pomocí x1, &hellip, xl-1 a vektorů z Gl-1 ∩ G, tedy zbylých vektorů z původního systému generátorů).
- Můžeme tedy provést výměnu nějakého vektoru z G stejně jako v prvním indukčním kroku. Jedině, že by se už po l-1 předchozích výměnách šlo xl vyjádřit pouze pomocí x1, &hellip, xl-1 (neměnili bychom pak některý z těch zbylých vektorů z G, ale nějaký vektor z X), to se ale nestane, protože vektory z X jsou lineárně nezávislé, žádný tedy nejde vyjádřit pomocí ostatních.
- Máme tedy soubor Gl (G s l vektory vyměněnými za x1, &hellip, xl), který je systém generátorů.
- Výměnou určitých k vektorů ze systému generátorů G za x1, x2, …, xk jsme získali opět systém generátorů. Tradá!
