Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /DISK2/WWW/lokiware.info/mff/wakka.php on line 35 Matfiz : SteinitzovaVětaOVýměně

Matfiz : SteinitzovaVětaOVýměně

Steinitzova věta o výměně


Následující formulace a důkaz věty vychází toho, co je v sylabu, a mých zápisků z přednášky. Trochu jsem změnil písmenka (liší se trochu od obou verzí), pokusil se to zapsat přehledně a bez složitých výrazů a s omáčkou, aby to bylo ve formě pro mě stravitelné:).

Poznámka: To, co je v Tůmových skriptech jako Steinitzova věta o výměně, je ve skutečnosti lemma o výměně z Kolmanovy přednášky a ze sylabu. Vlastní větě o výměně se hodně podobá Tvrzení 6.5, ale neříká úplně totéž (mluví se o bázi místo systému generátorů).

Steinitzova věta o výměně

Nechť:
Pak:

Lemma o výměně

Následující lemma se hodí pro důkaz samotné věty:

Nechť:
Pak pro všechna i taková, že ai ≠ 0, je G' = (v1, …, vi-1, x, vi+1, …, vn) také systém generátorů.

Důkaz lemmatu

  1. Koeficient ai ≠ 0, tedy existuje prvek ai-1 inverzní k ai.
  2. Vektor vi (ten, který jsme nahradili) můžeme proto vyjádřit pomocí zbylých vektorů v1, …, vnx:
    • vi = ai-1(xa1v1a2v2 – … – ai-1vi-1ai+1vi+1 – … – anvn)
  3. Z toho plyne, že libovolný vektor z V (který šel vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z G), lze vyjádřit i jako lineární kombinaci vektorů z G'.
  4. G' je tedy také systém generátorů.

Důkaz věty