Deprecated: Function set_magic_quotes_runtime() is deprecated in /DISK2/WWW/lokiware.info/mff/wakka.php on line 35 Matfiz : Lineární Algebra / Zkouška ZS 2006 - 7
Přihlášení:  Heslo:  
Matfiz: LineárníAlgebra/ZkouškaZS2006-7 ...
Hlavní Stránka | Seznam Stránek | Poslední Změny | Poslední Komentované | Uživatelé | Registrace |
Toto je stará verze stránky LineárníAlgebra/ZkouškaZS2006-7 z 2007-01-30 13:37:13..

Písemky z lineární algebry

Bodování: max 26b., min 14b.

Písemka 2

Zadání zkoušky v pdf ( MB )
priklad 2- myslim ze tam bylo: 2*x1 − x2 + 3x4


já jen doplním, že 1 je vektorový prostor(jestli se nepletu, Kolman to tvrdil), 2 jsem nějak nestrávil, 3 je jasná, 4 a,c,d neplatí, b platí

Písemka 1

  1. Definujte těleso. Ověřte, zda T je těleso, pokud pro něj operace sčítání a násobení vypadají následovně: a sč. b = a+b+1 ; a krát b = 2ab+a+b
  2. Vektory (1,2,0)T, (0,1,2)T a (2,1,0)T definují Prostor Z33. Ověřte jestli jsou linéárně závislé. Ověřte, pro která prvočísla p >= 3 jsou vektory lineárně závislé nad prostorem Zp3
  3. Definujte izomorfismus vektorových prostorů. Určete, zda je R10 izomorfní s libovolným prostorem desetičlenných vektorů z tělesa R a zda je s ním izomorfní R9.
    1. Ve čtvercové matici Ajsou pod diagonálou jen nuly. Je řádkový prostor této matice stejný jako sloupcový?
    2. Platí, že libovolných n lineárně nezávislých vektorů je báze prostoru s dimenzí n?
    3. Platí AB=In => BA=In ?
    4. Plati?: A|b ma stejnou hodnost jako A ekvivalentni Ax=b ma aspon jedno reseni.

finito.


1., 2., 3. jsou za 6 bodu, 4. po 2 bodech za pismenko


Řešení (spíš jen nápady, jak to řešit)

  1. Definice je jasná (axiomy), uvedené «těleso» není těleso, narazí to v axiomu určení a-1 pro 1/2(dělení nulou), prý taky na distributivitě
  2. Závislé jsou, když udělám lineární kombinaci 1*prvni+1*druhy+1*treti, dostanu 0
    • Pro větší prvočísla nevim, mě vyšlo, že pro 3 a 5 jsou závislé, pro 7 a víc nezávislé, ale v tom jsem měl chybu...
    • Jestli jsou ty vektory ze zadání správně opsané, tak tu nulu dostanu z lineární kombinace první + třetí, ale jen pro p = 3. Pro p ≥ 5 jsou podle mě vždy nezávislé, snad nekecám:). — Adam
    • mně to taky tak vychází tak snad to máš dobře... Pepa
  3. Definice opět jasná (bijekce, obrazem báze je zase báze)
    • R10 izomorfní je (obrazem báze std. báze)
    • R9 není (obraz báze 10 prvků nemůže být lin. nezávislý v 9 dimenzích => nemůže to být báze)
    1. NE. Protipříklad, matice 3x3 vsude nuly, jen na pozici 1,2 jednicka
    2. ANO. Steinitzova věta o výměně
    3. NE. A typu nxm, B typu mxn m<>n, tak BA nemůže být I_n, protože je typu mxm 
      • Možná stojí za zmínku, že to naopak platí pro všechny A, B typu nxn, pak je totiž B inverzní k A atd. — Adam
    4. ANO. Důkaz jsme dělali na přednášce, možná je i ve skriptech. Je to založený na tom, že posl sloupec A´|b´ neobsahuje pivot...

 
Na stránce nejsou žádné soubory. [Zobrazit soubory (formulář)]
Na stránce je 4 komentářů. [Zobrazit komentáře (formulář)]