Toto je stará verze stránky LineárníAlgebra/ZkouškaZS2006-7 z 2007-01-30 22:05:57..

Písemky z lineární algebry

Bodování: max 26b., min 14b.

Písemka 2

Zadání zkoušky v pdf ( MB )
priklad 2- myslim ze tam bylo: 2*x1 − x2 + 3x4

Řešení (spíš jen nápady, jak to řešit)

je vektorový prostor
je lehka
1. najdete bazi (po vyreseni jsou to vektory u parametrů – jako na cviceni) baze myslim mela 3 vektory
2. proste napisete matici zobrazeni, kde sloupce budou obrazy baze z a) tzn matice 2x3, protoze je to vuci standartni bazi R²
je jasná (pouzijte pro dukaz matematickou indukci a lemma o vymene, je to kratsi) lemma se nemusi dokazovat
a,c,d neplatí, b platí

Písemka 1

Definujte těleso. Ověřte, zda T je těleso, pokud pro něj operace sčítání a násobení vypadají následovně: a sč. b = a+b+1 ; a krát b = 2ab+a+b
Vektory (1,2,0)^T, (0,1,2)^T a (2,1,0)^T definují Prostor Z₃³. Ověřte jestli jsou linéárně závislé. Ověřte, pro která prvočísla p >= 3 jsou vektory lineárně závislé nad prostorem Z_p³
- Ve starých Matouškových zadáních je to (1,2,0)^T, (0,1,2)^T a (2,0,1)^T. (Moc to na nemění, viz řešení níže.) — Adam
Definujte izomorfismus vektorových prostorů. Určete, zda je R¹⁰ izomorfní s libovolným prostorem desetičlenných vektorů z tělesa R a zda je s ním izomorfní R⁹.
1. Ve čtvercové matici Ajsou pod diagonálou jen nuly. Je řádkový prostor této matice stejný jako sloupcový?
2. Platí, že libovolných n lineárně nezávislých vektorů je báze prostoru s dimenzí n?
3. Platí AB=In => BA=In ?
4. Plati?: A|b ma stejnou hodnost jako A ekvivalentni Ax=b ma aspon jedno reseni.

finito.

1., 2., 3. jsou za 6 bodu, 4. po 2 bodech za pismenko

Řešení (spíš jen nápady, jak to řešit)

Definice je jasná (axiomy), uvedené «těleso» není těleso, narazí to v axiomu určení a^-1 pro 1/2(dělení nulou), prý taky na distributivitě
Závislé jsou, když udělám lineární kombinaci 1*prvni+1*druhy+1*treti, dostanu 0
- Pro větší prvočísla nevim, mě vyšlo, že pro 3 a 5 jsou závislé, pro 7 a víc nezávislé, ale v tom jsem měl chybu...
- Jestli jsou ty vektory ze zadání správně opsané, tak tu nulu dostanu z lineární kombinace první + třetí, ale jen pro p = 3. Pro p ≥ 5 jsou podle mě vždy nezávislé, snad nekecám:). — Adam
- mně to taky tak vychází tak snad to máš dobře... Pepa
- Ve starých Matouškových zadáních je to (1,2,0)^T, (0,1,2)^T a (2,0,1)^T, takže ta kombinace je pak skutečně první + druhý + třetí = (0,0,0)^T. Nicméně pro p ≥ 5 jsou i tak vždycky nezávislé. — Adam
Definice opět jasná (bijekce, obrazem báze je zase báze)
- s R¹⁰ izomorfní je (obrazem báze std. báze)
- s R⁹ není (obraz báze 10 prvků nemůže být lin. nezávislý v 9 dimenzích => nemůže to být báze)
1. NE. Protipříklad, matice 3x3 vsude nuly, jen na pozici 1,2 jednicka
2. ANO. Steinitzova věta o výměně
3. NE. A typu nxm, B typu mxn m<>n, tak BA nemůže být I_n, protože je typu mxm
  - Možná stojí za zmínku, že to naopak platí pro všechny A, B typu nxn, pak je totiž B inverzní k A atd. — Adam
4. ANO. Důkaz jsme dělali na přednášce, možná je i ve skriptech. Je to založený na tom, že posl sloupec A´|b´ neobsahuje pivot...