Informace o zkoušce z Matematické analýzy II (MAI055), LS 2006/07

Zdroj: http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/zkMAII07.txt (20. června)

Zkoušející: Martin Klazar

Termíny zkoušek: 31.5., 8.6., 19.6. a 22.6. Další termíny budou vyhlášeny později (jeden první týden v červenci a další v září). Přihlašování na zkoušku a další údaje v v SISu.

Na tyto termíny se mohou zapisovat studenti z mé paralelky (kruhy 31–34, 45 a 46) a studenti kombinovaného studia. Výjimky jsou možné pouze po dohodě.

Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící.Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů).

Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru (nebo později) na prověření početní techniky, se 4 příklady (okruhy: neurčitý a určitý integrál, řady funkcí obecně, mocninné řady, Fourierovy řady), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie.

U obou písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní (nikoli sousedovu) hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející.

Okruhy příkladů v písemce na zkoušce:

Početní příklad jako v zápočtové písemce (integrál nebo řada funkcí).
Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice).
Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů).
Jedna otázka z okruhů C níže (věty s důkazy).

Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Nepůjde jen o vychrlení definice na papír.

Hodnocení zkoušky

Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad).
Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad).
Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů.

0 -19 bodů = «neprospěl(a)"
20–26 bodů = «dobře»
27–33 bodů = «velmi dobře»
34–40 bodů = «výborně».

Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den v odpoledních nebo večerních nebo nočních hodinách.

V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující
ústní otázku.

Okruhy otázek pro zkouškovou písemku

A (základní pojmy a definice)

(Riemannův integrál)
1. Definujte Riemannův integrál funkce (Riemannova definice).
2. Definujte Riemannův integrál funkce (Darbouxova definice).
Definujte stejnoměrnou spojitost funkce.
Definujte množinu Lebesgueovy míry nula.
Definujte Newtonův integrál.
(Konvergence posloupností a řad funkcí)
1. Vysvětlete typy konvergence posloupností funkcí.
2. Vysvětlete typy konvergence řad funkcí.
Definujte obecnou mocninnou řadu a její poloměr konvergence.
Definujte obecnou trigonometrickou řadu a Fourierovy koeficienty funkce.
Vysvětlete pojem po částech hladké funkce.
Definujte pojem metrického prostoru a pojem otevřené a uzavřené množiny.

B (věty a výsledky bez důkazů)

B (věty a výsledky bez důkazů) – aneb vystrihovanka ze skript, pokud to jeste nekomu na neco bude...
bod 1 tam neni. file:vety.pdf — K.B

Popište postup integrace obecné racionální funkce.
Poslední přednáška zimního semestru, není ve skriptech, ale jsou dostupné tyto Klazarovy ~~čmáranice~~ slajdy z přednášky. — Adam
Uveďte základní výsledky o Riemannově integrálu a třídě riemannovsky integrovatelných funkcí (T. 1.1–1.2, V. 1.4–1.8).
Uveďte výsledky o výpočetních vlastnostech Riemannova integrálu (V. 1.9–1.13).
Vysvětlete, jak spolu souvisí Riemannův a Newtonův integrál (V. 1.12. a následující povídání).
Uveďte některé aplikace integrálů (hlavně T. 1.14 a formule pro výpočet plochy, délky křivky a objemu rotačního tělesa).
Uveďte kritéria stejnoměrné konvergence posloupností a řad funkcí (T. 2.1–2.2, V. 2.7–2.8).
Uveďte věty o záměně pořadí operace limity s dalšími operacemi pro posloupnosti a řady funkcí (V. 2.3–2.5 a jejich verze pro řady).
Uveďte výsledky o mocninných řadách (V. 2.9, T. 2.10, V. 2.11).
Uveďte výsledky o Fourierových řadách (T. 2.12, V. 2.13–2.15).
Uvedte výsledky o metrických prostorech (V. 3.1-vlastnosti ot. a uz. množin).

C (věty s důkazy)

Dokažte kritérium existence Riemannova integrálu (V 1.4).
Dokažte, že spojitá funkce má na kompaktním intervalu Riemannův integrál (V 1.7 a T. 1.7,5).
Dokažte, že integrál je aditivní funkcí integračního intervalu (V 1.10).
Dokažte, že funkce spojitá na [a, b] má na [a, b] primitivní funkci (V 1.11 a důsledek).
Dokažte výsledek o souvislosti integrálu a primitivní funkce (V. 1.12).
Dokažte integrální kritérium konvergence řad (T 1.14) a uveďte příklady na jeho použití.
Dokažte Bolzanovu-Cauchyovu podmínku pro posloupnosti funkcí (T. 2.1).
Dokažte Mooreovu-Osgoodovu větu (V 2.3).
Dokažte větu o záměně pořadí limity a integrování (V. 2.4).
Dokažte Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence (1. část V. 2.7).
Dokažte vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady (V 2.9).
Dokažte, že mocninná řada konverguje na intervalu konvergence lokálně stejnoměrně (T. 2.10).
Dokažte, že počet rozkladů čísla n na liché části je stejný jako počet rozkladů na různé části (jedna z aplikací moc. řad).
Dokažte Besselovu nerovnost a Riemannovo-Lebesgueovo lemma (V 2.13).
Dokažte větu o bodové konvergenci Fourierovy řady po částech hladké funkce (V 2.14, lemma nemusíte dokazovat).
Dokažte větu o stejnoměrné konvergenci Fourierovy řady spojité a po částech hladké funkce (V 2.15).