Toto je stará verze stránky MatematickáAnalýza/ZkouškaLS2007 z 2007-06-22 18:43:42..

Matematická analýza — zkouška LS 2007

Hezky zformátované !/Požadavky ke zkoušce

1. písemka

Přišli jsme jen tři. Zadání bylo:

1) Najděte všechny primitivní funkce k f(x) = x*exp(x)*sin(x)

2) Definujte pojmy: funkce stejnoměrně spojitá na intervalu, množina (Lebesgueovy) míry nula
2a) Rozhodněte, pro které hodnoty parametru alfa z intervalu <0> je funkce f(x) = x(umocněno na alfa) * sin(1/x) + sqrt(x) na intervalu (0,1> stejnoměrně spojitá.
2b) Pro množinu X (je podmnožina reálných čísel) a reálné číslo c označíme cX = {cx : x je prvkem X}. Rozhodněte, zda je pravdivá ekvivalence: Množina X má míru nula, právě když pro každé reálné číslo c má množina cX míru nula.
Odpovědi zdůvodněte.

3a) Uveďte (bez důkazů) výsledky o Fourierových řadách.
3b) Vypočítejte integrál
(integrál od 0 do pi) (2 + sin(x) – sin(3x) + sin(5x)to celé na druhou) dx
Odpovědi zdůvodněte.

4) Uveďte vzorec pro poloměr konvergence mocninné řady a dokažte ho.

Bylo to celkem lehké (i když jak co). – Ondra Triebenekl taky tady

2. písemka (8. června 2007)

1) Vypočítejte integrál od nuly do pí z ( 3 – sin(x) – sin(3x) + sin(5x) )^2 dx. Nápověda : Můžete použít výsledek z teorie Fourierových řad.
2) Definujte Riemannův integrál (pomocí dolního a horního integrálu)

Pro které hodnoty parametru w má funkce f : [0;1] -> R, kde f(x) = x^w pro x > 0 a f(0)=1, Riemannův integrál?
Rozhodněte, zda funkce f : [0;1] -> R definovaná jako f(x) = x pro racionální x a f(x) = sin(x) pro iracionální x má Riemannův integrál a spočítejte odhad pro horní a dolní integrál.

Odpovědi zdůvodněte

3) a) Uveďte (bez důkazů) výsledky o mocninných řadách.

Nechť mají mocninné řady F a G poloměry konvergence A a B (A se nerovná B). Buď H řada vzniklá jejich součtem. Jak lze vyjádřit poloměr konvergence mocninné řady H v závislosti na A a B?

Odpovědi zdůvodněte.

4) Uveďte Mooreovu-Osgoodovu větu o záměně pořadí limity posloupnosti funkcí s limitou funkce v bodě a dokažte ji.
Výsledky ověřené docentem
1) Myslím se že mi snad ani nekontroloval to samotné číslo (mě se aspoň zdá špatně, ale co jsem já proti docentovi) šlo mu hlavně o to ukázat že znáte ty vzorce integrál od -pí do pí ze sin(nx)sin(mx). Já jsem to řešil tak, že jsem výraz umocnil. Dostal jsem šestnáct členů ale spousta jich vyjde nula (podle těch vzorců).
2) a) a > 0 jinak je funkce neomezená => není Riemannovsky integrovatelná (2)

nemá R. integrál. (obsahuje nekonečně bodů nespojitosti). Ty dolní a horní součty jsem neměl, přesto jsem dostal plný počet bodů (2)

3) b) min{A, B} nejlépe prý dívat se na ty intervaly a z těch to vyvodit. (3)
Všem přeji hodně štěstí u zkoušky z Matematické analýzy II. – Petr Musil

úterý 19.

1) Spočtěte limity
lim x->0+ suma n=1 až nekonečno 1/(3^n*n^x)
lim x=>1- suma n=1 až nekonečno x^n(1-x)
2) Definujte stejnoměrnou spojitost na intervalu a Newtonův integrál
a)pro která alfa z <0,1> je f(x)=sin(alfa*x)sin(1/x)+sqrt(x) stejnoměrně spojitá?
b)f má na (0,1) Newtonův integrál
platí f+g má N. integrál <=> g má N. integrál ??? na (0,1)
3)
a) Uveďte výsledky o Fourierovývh řadách
b)f(x) po částech hladká, 2pi periodicka
S(x) součet její Fourierovy řady
Ukažte, jestli platí:
f(x)!=0 pro všechna x => S(x)!=0 pro všechna x
4) Dokažte integrální kritérium konvergence řad a uveďte příklady jeho použití

Zkouška pátek 22. 6.

1. (6 bodů)

Nalezněte primitivní funkci k (x^2 + 1) / (x^2 – 1)(x^2 + x + 1).

2. (2 + 2 + 2 body)

Definujte: bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí; Newtonův integrál.
(a) Mějme dvě posloupnosti funkcí definované na [0, 1], z nichž jedna konverguje lokálně stejnoměrně a druhá stejnoměrně. Musí pak konvergovat lokálně stejnoměrně jejich součet?
(b) Nechť je funkce definovaná na (0, 1), kde je i spojitá a omezená. Musí mít na (0, 1) Newtonův integrál?

3. (3 + 3 body)

(a) Bez důkazů uveďte výsledky o mocninných řadách.
(b) Sečtěte číselnou řadu suma pro n od 1 do nekonečna z 1 / (n * 3^n). Návod: použijte vhodnou mocninnou řadu.

4. (6 bodů)

Dokažte, že funkce spojitá na [a, b] má na [a, b] primitivní funkci.

Komentář:
1) Klasický příklad na racionální funkci, navíc velmi jednoduchý. Pokud dobře rozložíte výraz na parciální zlomky, vyjde v čitatelích vždy derivace jmenovatele, takže ve výsledku jsou samé lograritmy.
2) (a) Musí. Ze stejnoměrné konvergence druhé posloupnosti vyplývá její lokálně stejnoměrná konvergence, což je postačující předpoklad toho, aby tvrzení platilo. To, že součet konverguje lokálně stejnoměrně, se dá snadno dokázat přímo z definic konvergencí.
2) (b) Musí. Funkci f v nule a jedničce libovolně dodefinujeme. Potom je podle Lebesgua riemannovsky integrovatelná a proto pro ni podle první základní věty analýzy existuje na [0, 1] spojitá primitivní funkce F, pro kterou díky její spojitosti v krajních bodech existují vlastní jednostranné limity potřebné pro Newtonův integrál.
3) (b) Odpovídající mocninná řada je x^n / n, což je prý vlastně rozvoj logaritmu, snad -log(1 – x), takže stačí dosadit... toto jsem neměl, ale něco takového ukazoval na tabuli. Doplní někdo?
4) Zde jsem vlastně shodně s «požadavky ke zkoušce» dokazoval první základní větu analýzy a poté ji aplikoval na daný případ, přičemž jsem se odvolal na větu 1.7 z přednášky (že spojitá funkce je RI). Dostal jsem za to 5/6 bodů s poznámkou «chybí důkaz 1.7!» a se smajlíkem, což tak docela nevím, co má znamenat, protože dokazovat k tomu větu 1.7 (nedejbože i s tím lemmatem) by zabralo další A4...
— Honza