Informace o zkoušce z Matematické analýzy III (MAI056), ZS 2007/08
Verze pro tisk: 
file:maiiizkouska.pdf
Zdroj: 
http://kam.mff.cuni.cz/~klazar/zkMAIII07.txt (10. ledna)
Zkoušející: Martin Klazar
Termíny zkoušek: 17.1., 24.1., 31.1., 7.2. a 14.2. Další případné termíny budou vyhlášeny později. Přihlašování na zkoušku a další údaje v SISu.
Na tyto termíny se mohou zapisovat studenti z mé paralelky (kruhy 31–36) a studenti kombinovaného studia. Výjimky jsou možné pouze po dohodě.
Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu,
nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů).
Zkouška se skládá ze dvou písemek:
(i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru (nebo později) na prověření početní techniky, se 4 příklady (okruhy: parc. derivace, extrémy funkcí více proměnných, implicitní funkce, dif. rovnice), a
(ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie.
U obou písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející.
Okruhy příkladů v písemce na zkoušce:
- Početní příklad jako v zápočtové písemce
(okruhy viz výše).
- Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice).
- Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů).
- Jedna otázka z okruhů C níže (věty s důkazy).
Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Nepůjde jen o prosté vypsání definice na papír.
Hodnocení zkoušky
Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad).
Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad).
Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů.
0 -19 bodů = «neprospěl(a)"
20–26 bodů = «dobře»
27–33 bodů = «velmi dobře»
34–40 bodů = «výborně».
Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den v odpoledních nebo večerních nebo nočních hodinách.
V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázku.
Okruhy otázek pro zkouškovou písemku
A (základní pojmy a definice)
Kapitola 1
- Definujte pojmy: metrický prostor, otevřená a uzavřená množina, otevřená koule, hraniční bod množiny.
- Definujte spojitost zobrazení mezi metr. prostory a pojem homeomorfismu.
- Podejte obě definice kompaktního metr. prostoru, resp. kompaktní množiny v metr. prostoru.
- Definujte úplný metr. prostor a kontrahující zobrazení mezi metr. prostory.
- Definujte normovaný prostor a prostor se skalárním součinem.
- Definujte pojem parciální derivace a diferenciálu funkce více proměnných.
- Definujte Jacobiho matici zobrazení a Hessovu matici funkce více proměnných.
- Napište definici vícerozměrného Riemannova integrálu přes box v Rn a přes obecnou podmnožinu Rn.
- Vysvětlete, co to znamená, že funkce f(x,y) splňuje na nějaké množině lokálně Lipchitzovu podmínku vzhledem k proměnné y.
- Definujte fundamentální systém řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu.
- Popište komplexní a reálný fundamentální systém řešení (FSŘ) lin. dif. rovnice řádu n s konst. koeficienty.
B (věty a výsledky bez důkazů)
- Uveďte vlastnosti otevřených a uzavřených množin v metr. prostoru a topologickou charakterizaci spojitosti zobrazení mezi metr. prostory (T.1.1-T.1.3).
- Uveďte výsledky o kompaktních množinách v metr. prostoru (T.1.4-V.1.8).
- Uveďte výsledky o úplných metr. prostorech (T.1.9 a V.1.10).
- Uveďte základní vlastnosti parciálních derivací a diferenciálů funkcí více proměnných (T.2.1, T.2.3-T.2.6).
- Uveďte základní výsledky o počítání s parciálními derivacemi a diferenciály (T.2.7-T.2.9).
- Uveďte výsledky o Taylorově rozvoji a extrémech funkcí více proměnných na otevřené množině (T.2.10 a V.2.11).
- Uveďte výsledky o funkcích definovaných implicitně a vázaných extrémech funkcí více proměnných (V.2.12-D.2.14).
- Uveďte a vysvětlete Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text k 8. přednášce).
- Uveďte věty zaručující existenci řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav (V.3.1-V.3.3).
- Popište postup řešení lineární difer. rovnice 1. řádu a difer. rovnice 1. řádu se separovanými proměnnými.
- Popište teorii soustav lineárních difer. rovnic (T.3.4-V.3.6).
C (věty s důkazy)
- Uveďte a dokažte výsledky o otevřených a uzavřených množinách v metr. prostoru. (T.1.1 a T.1.2).
- Uveďte a dokažte topologickou charakterizaci spojitosti zobrazení mezi metr. prostory (T.1.3).
- Dokažte, že kompaktní množiny v metr. prostoru jsou uzavřené a omezené (T.1.5).
- Uveďte a dokažte vlastnosti spojitých funkcí na kompaktních metr. prostorech (V.1.7).
- Uveďte a dokažte Banachovu větu o pevném bodu (V.1.10).
- Dokažte, že spojitost parciálních derivací implikuje diferencovatelnost (V.2.4).
- Uveďte a dokažte větu o diferenciálu složeného zobrazení (V.2.8).
- Uveďte a dokažte tvrzení o záměnnosti parc. derivací (T.2.9).
- Uveďte a dokažte větu o extrémech funkcí více proměnných na otevřené množině (V.2.11).
- Uveďte a dokažte Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text k 8. přednášce).
- Uveďte a dokažte Picardovu větu o řešení difer. rovnice prvního řádu (V.3.2=V.1.11).
- Popište prvky komplexního a reálného FSŘ lin. difer. rovnice řádu n s konst. koeficienty a dokažte, že jsou řešením této rovnice (T.3.7).
- Popište prvky komplexního FSŘ lin. difer. rovnice řádu n s konst. koeficienty a dokažte, že jsou lineárně nezávislé (V.3.8).
