Toto je stará verze stránky PravděpodobnostAStatistika z 2009-01-26 10:17:02..

Pravděpodobnost a statistika

Přednášející: Jaromír Antoch (na jeho webu ale žádné informace, vyjma toho, jak se zapisují výsledky do indexů, nenajdete:()

Zkouška

Dost informací o minulých zkouškách najdete na wiki.matfyz.cz. Příklady z dřívějších zkoušek na této wiki nám byla doporučena na cvičeních s tím, že to asi tento rok bude dost podobné. Čerstvé zážitky z tohoto roku najdete na fóru a psát je můžete i sem:).

Různé řešené příklady

[2007–01–27] (1) Má-li délka telefonních hovorů (v minutách) exponenciální rozdělení se střední hodnotou 2 minuty, určete jaká je pravděpodobnost, že náhodný hovor je delší než 2 minuty. (Možnosti: 0.5 %, 5 %, 15 %, 37 %, 50 %)

Řešení: U exp. rozdělení: 1/λ = E X, tedy máme λ = 1/2, F(x) = 1 – e^-λt, z toho snadno spočteme pravděpodobnost P[t > 2] = 1 – P[t ≤ 2] = 1 – F(2) = (dosazení) = 1/e = přibližně 37 %

[2007–01–27] (2) Uvažujme výběr X₁, …, X_n z alternativního rozdělení s parametrem 0.3 a náhodnou veličinu Y = suma přes i od 1 do n X_i.
(a) Určete rozdělení Y. (Binomické Bi(0.3), z definice binomického rozdělení.)
(b) Určete k čemu ve vhodném smyslu konverguje Y/n. (Podle SZVČ: Konverguje podle pravděpodobnosti ke střední hodnotě X_i, tj. 0.3.)
(c) Má rozdělení Y nějaký vztah k Poissonovu rozdělení. (Poissonovo rozdělení s parametrem λ = 0.3n, Po(0.3n) může pro velká n sloužit jako jeho aproximace. Pro n jdoucí do nekončna by k němu konvergovalo, to je ale v tomhle případě, kdy je pevné p a i λ by tedy šla do nekonečna, asi nesmysl říkat.)
[2008–07–02] 3) Ma-li doba obsluhy (v minutach) zakaznika v bance exponencialni rozdeleni se stredni dobou 5 minut, urcete:
(a) pravdepodobnost, ze zakaznik bude obsluhovan dele nez 5 minut
(b) stredni hodnotu aritmetickeho prumeru dob obsluhy 100 zakazniku
(c) rozptyl aritmetickeho prumeru dob obsluhy 100 zakazniku
(d) pribliznou pravdepodobnost jevu, ze zamestnanec banky stihne behem sve pracovni doby, jez je 8 hodin, obslouzit 78 zakazniku, jejichz pozadavky spolu nesouvisi
(e) Sestavte asymptoticky test pomoci nejz lze prokazat, ze stredni doba obsluhy jednoho zakaznika prevysuje 5 minut
(f)pomoci testu sestrojenem v predchozim bode rozhodnete na 5% hladine vyznamovosti

Řešení:
Použijme jako jednotku minutu, potom parametr exp. rozdělení λ = 1/5
(a) 1/e = cca 37 % (viz [2007–01–27] (1))
(b) počet zákazníků nemá vliv: μ₁₀₀ = μ = 5 min
(c) σ₁₀₀² = σ²/100 = 1/(100 * λ²) = 25/100 = 1/4 (resp. 1/4 min²)
(d) Pomocí CLV. Mně vyšlo: cca Φ( (480–78*5)/sqrt(78*25) ) = cca Φ( 2.04 ) = cca 0.9793 = cca 98 %
(e,f) ...