Steinitzova věta o výměně

Následující formulace a důkaz věty vychází toho, co je v sylabu, a mých zápisků z přednášky. Trochu jsem změnil písmenka (liší se trochu od obou verzí), pokusil se to zapsat přehledně a bez složitých výrazů a s omáčkou, aby to bylo ve formě pro mě stravitelné:).

Poznámka: To, co je v Tůmových skriptech jako Steinitzova věta o výměně, je ve skutečnosti lemma o výměně z Kolmanovy přednášky a ze sylabu. Vlastní větě o výměně se hodně podobá Tvrzení 6.5, ale neříká úplně totéž (mluví se o bázi místo systému generátorů).

Steinitzova věta o výměně

Nechť:

V je vektorový prostor nad tělesem T,
G = (v₁, v₂, …, v_n) je systém generátorů vektorového prostoru V,
X = (x₁, x₂, …, x_k) je soubor lineárně nezávislých vektorů z V.

Pak:

k ≤ n,
některých k vektorů z G lze nahradit vektory x₁, x₂, …, x_k, tak že dostaneme opět systém generátorů.

Lemma o výměně

Následující lemma se hodí pro důkaz samotné věty:

Nechť:

G = (v₁, v₂, …, v_n) je systém generátorů vektorového prostoru V,
x ∈ V je nějaký vektor vyjádřený pomocí vektorů z G jako x = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n.

Pak pro všechna i taková, že a_i ≠ 0, je G' = (v₁, …, v_i-1, x, v_i+1, …, v_n) také systém generátorů.

Důkaz lemmatu

Koeficient a_i ≠ 0, tedy existuje prvek a_i^-1 inverzní k a_i.
Vektor v_i (ten, který jsme nahradili) můžeme proto vyjádřit pomocí zbylých vektorů v₁, …, v_n a x:
- v_i = a_i^-1(x – a₁v₁ – a₂v₂ – … – a_i-1v_i-1 – a_i+1v_i+1 – … – a_nv_n)
Z toho plyne, že libovolný vektor z V (který šel vyjádřit jako lineární kombinace vektorů z G), lze vyjádřit i jako lineární kombinaci vektorů z G'.
G' je tedy také systém generátorů.

Důkaz věty

Vektory v X jsou lineárně nezávislé, proto ∀x∈X: x ≠ 0.
Důkaz indukcí podle počtu vyměněných vektorů l:
- pro l = 1:
  1. G je systém generátorů, proto lze vyjádřit x₁ = a₁v₁ + a₂v₂ + … + a_nv_n.
  2. Protože x₁ ≠ 0 (viz začátek důkazu), existuje j takové, že koeficient a_j ≠ 0.
  3. Podle lemmatu můžeme v_j nahradit x₁. Dostaneme tím soubor G₁, který je také systém generátorů.
- pro 2 ≤ l ≤ k (když platí pro l-1):
  1. Obdobně jako v prvním kroku lze nyní x_l vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z G_l-1 (tedy pomocí x₁, &hellip, x_l-1 a vektorů z G_l-1 ∩ G, tedy zbylých vektorů z původního systému generátorů).
  2. Můžeme tedy provést výměnu nějakého vektoru z G stejně jako v prvním indukčním kroku. Jedině, že by se už po l-1 předchozích výměnách šlo x_l vyjádřit pouze pomocí x₁, &hellip, x_l-1 (neměnili bychom pak některý z těch zbylých vektorů z G, ale nějaký vektor z X), to se ale nestane, protože vektory z X jsou lineárně nezávislé, žádný tedy nejde vyjádřit pomocí ostatních.
  3. Máme tedy soubor G_l (G s l vektory vyměněnými za x₁, &hellip, x_l), který je systém generátorů.
Výměnou určitých k vektorů ze systému generátorů G za x₁, x₂, …, x_k jsme získali opět systém generátorů. Tradá!