Matematická Analýza I — Zkouška ZS 2006–7
Doc. Klazar sepsal dost
informací o zkouškách.
Okruhy otázek v přehlednější formě (vhodné i pro tisk).
Zkouška začíná přesně v uvedený čas (aspoň v mém případě to tak bylo, tzn. že ještě před devátou jsme byli v posluchárně a měli rozdaná zadání). Opravení písemek trvá několik hodin a výsledky jsou pak i na webu (můžete se tam mrknout, jak dopadly ty dosavadní). Klazar nebyl v obleku, většina lidí byla neformálně oblečená. Zadání na jednom termínu jsou vždy stejná.
Řešené otázky
Zkouška 18. 1. 2007
- Extrémy funkce |x+1|^3 exp(-x)
- limita funkce, spojitost v bodě, spojitost na intervalu; máme 2 fce f, g: (-1, 1)->R, vyřešit všechny možnosti spojitosti v 0 pro fci f+g
- přerovnání řad; určit všechna možná přerovnání řady 1/2 – 1/5 + 1/2 – 1/5 + ...; najít divergentní řadu, která má konvergentní přerovnání
- Dokázat jednoznačnost Taylorova polnymou funkce
Zkouška 22. 1. 2007
- Extrémy funkce f(x)=x^x, x>0, f(0)=1/10
- Částečný součet řady, absolutní konvergence řady, Cauchyova podmínka pro řady; zjistit zda platí Suma(n=1..inf)a_n konverguje <==> Suma(n=1..inf)a_2n konverguje a Suma(n=1..inf)a_2n-1 konverguje, když ne, tak která ekvivalence
- Věty o aritmetice limit a o vztahu limit vzhledem k uspořádání; pro jaké posloupnosti platí, že když (a_n) konverguje, tak (a'_n) konverguje, kde a'_n=a_n pro sudá n a a'_n=(a_n)^2 pro lichá n
- Zformulovat a dokázat vzorec pro derivaci složené fce
Zkouška 26. 1. 2007
(Jestli si to teda všechno pamatuju.)
- Extrémy: f(x) = 3 + sin x + cos x
- Definice: ryze konvexní (nebo snad konkávní) funkce, inflexní bod, asymptoty funkce.
- Ano/ne, zdůvodnění: Funkce definovaná na [0, +nekonečno), která má asymptotu v +nekonečnu, nemá globální minumum nebo maximum. (Podle mě nejde odpovědět jednoznačně, je třeba rozebrat podle směrnice asymptoty a > 0, a = 0, a < 0 – Presne tak jsem to mel a mam za to 6 bodu. Ale jednoznacna odpoved je NE, protoze neni pravda, ze fce, ktera, atd... Cestmir)
- Rozeberte konvergenci a součet geometrické řady a \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^s.
- Ano/ne, zdůvodnění: x = 4/5, \sum_{n=1}^{\infty} (x^{n+3}-x^{2n}) > 0
- Ano/ne, zdůvodnění: Konvergentní geometrická řada konverguje vždy absolutně.
- Zformulujte a dokažte Cauchyho větu o střední hodnotě.
Zápočet 29. 1. 2007
(Schválne, či by ste to vedeli)
- Lim_n->inf: (n^2+1)(ln(n^2–4) – 2ln n)
- Konvergencia/divergencia v závislosti na x: \sum_{n=2}^{\infty} sin(Pi/n)*(x-2)^n
- Dokážte, že f a f' sú spojité na R: f(x) = e^(-1/(1-x^2)) pre |x|<1 a f(x)=0 pre |x|>= 1
- Nájdite lokálne a globálne extrémy funkcie f(x) = |2x-1|/(x-1)^2
